教学目标

1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理的逆定理，会用尺规作线段的垂直平分线；

2．能利用所学知识提出问题并解决实际问题；

3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．

教学重点

利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质定理的逆定理．

教学难点

灵活运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．

教学过程（教师）

学生活动

设计思路

实践探索一

在一张薄纸上画一条线段AB，你能找出与线段AB的端点A、B距离相等的点吗？这样的点有多少个？

动手操作，交流发现．

激发兴趣，点明主题．

衔接上一节课，渗透数学“逆向思维”的数学研究策略．

实践探索二

如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两端的距离相等．反过来，如果一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？

如图2-21（1），若点Q在线段AB上，且QA＝QB，则Q是线段AB的中点，则点Q在线段AB的垂直平分线上.

如图2-21（2），若点Q是线段AB外任意一点，且

QA＝QB，那么点Q在线段AB的垂直平分线上吗？为什么？

通过上述探索，你得到了什么结论？

在线段的垂直平分线上的点都具有同一个性质而毫无例外；反之，具有这一性质的点都在这条线段的垂直平分线上而无一遗漏。

由此你发现了：

垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.

1．猜想线段垂直平分线性质定理的逆定理；

2．自学课本上点Q在线段上的情形，思考点Q不在线段上时的证明；

3．学生证明逆定理．

（1）过点Q作QM AB于点M，利用HL证明三角形全等，继而得到QM垂直平分AB．

（2）过点Q作∠AQB的角平分线交AB于点M，利用SAS证明三角形全等，继而得到QM垂直平分AB．

（3）过点Q作AB边上的中线交AB于点M，利用SSS证明三角形全等，继而得到QM垂直平分AB．

4．学生讨论、归纳得到线段垂直平分线性质定理的逆定理，线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合．

教师提出问题，帮助学生合理猜想，培养学生的逆向思维能力．

从“点Q在线段AB上” 这一特殊情形的直接呈现，到“点Q是线段AB外任意一点”一般情形的研究，渗透数学中“特殊——一般”的研究方法，同时图2-21（1）也是为图2-21（2）作好铺垫，引导学生思考添加辅助线解决问题.

     两个步骤兼顾了“任意性”和“完备性”，让学生感受线段垂直平分线上点的共性，几何画板的一般性图形验证，客观的得到了其是一类点的集合．

实践探索三

你能运用实践探索二得到的结论，用尺规画出任一条线段的垂直平分线吗？如果能，说说你作图的依据.

课本上用尺规作线段的垂直平分线时，为什么要画“两弧的交点”，而且“半径要大于2(1)AB”呢？

在线段AB所在直线外取一点C，连接AC，用刚学的方法画出AC的垂直平分线l₁，与AB的垂直平分线l₂交于点O，再连接BC，并作出它的垂直平分线．你发现了什么？得到什么结论？这又是为什么呢？

1．学生尝试操作、小组交流；

2．小组代表汇报画法，并说明作图依据；

3．自学课本，与你的画法进行对比，判

断谁的画法更好？

4．说明作法中“两弧的交点”“半径要

大于2(1)AB”的原因；

5. 进行延伸作图，观察现象，思考原因.

从实践探索二出发，引导学生利用圆规的等距性找到确定线段垂直平分线的两点，强调“两交点”及“半径”，确保作图成功．

延伸作图以及图形观察一方面“学以致用”，另一方面为例1的解决作出铺垫．

例1　已知：如图2-22，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l₁、l₂相交于点O．求证：点O在BC的垂直平分线上.

分析：要证明点O在BC的垂直平分线上，根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，只要证OB＝OC，连接OB、OC，要证OB＝OC，只要证OB＝OA，OC＝OA，因为AB、AC的垂直平分线l₁、l₂相交于点O，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得OB＝OA，OC＝OA，所以得证．

1．学生结合实践探索三思考；

2．尝试证明；

3．验证得到结论：三角形的三边垂直平

分线相交于一点．

在实践探索三的基础上学生开始逐渐学会综合利用性质定理和逆定理．

分析为学生进行证明提供了一种思考方法．

问题解决完后及时进行小结归纳，得出三角形“外心”，为学习三角形的外接圆打好基础．

指导学生活动．

练习：课本P54练习1．

练习：（1）课本P54练习2．

（2）课本P52练习2的基础上作出公共汽车站的位置．

这两题都是线段垂直平分线性质定理及逆定理的应用．

第1题是借助网格画两边的垂直平分线即可，巩固了例1，有利于学生动手操作，获得成功，调动学生学习的积极性．

第2题是利用线段的垂直平分线性质定理及逆定理解决实际生活中的问题，再次让学生感受到数学是为生活服务的．

小结

（1）探索并证明了线段的垂直平分线的逆定理，会用直尺和圆规作线段的垂直平分线，知道了线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.

（2）会应用性质定理和逆定理证明结论的正确性和解决问题．

（3）经历了“作图——猜想——证明”的过程，发展了空间观念和演绎推理的能力．

学生讨论、小结．

帮助学生及时归纳所学，纳入原有知识体系中．

布置作业

课本P57-58习题2.4，分析第5、6

学生根据自身实际情况，选题作业．

实行作业分层，便于不同发展水平的学生自我发展．